Analysis Beispiele

$y = \ln ({(x + 2)}^{5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(x + 2)}^{5}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x + 2)}^{5}$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + 2$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{5}} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{5}{{(x + 2)}^{5}} ({(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere ${(x + 2)}^{4}$ und $\frac{5}{{(x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x + 2)}^{4}$ .

$\frac{5 \cdot {(x + 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 2)}^{4}$ und ${(x + 2)}^{5}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4}$ aus $5 {(x + 2)}^{4}$ heraus.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{5}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere ${(x + 2)}^{4}$ aus ${(x + 2)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot 5}{{(x + 2)}^{4} (x + 2)} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x + 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{5}{x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5}{x + 2} (1 + 0)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5}{x + 2} \cdot 1$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x + 2}$ mit $1$ .

$\frac{5}{x + 2}$