Analysis Beispiele

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ als ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{3} (x)$ und $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{3} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 10

Bringe ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ mit $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 13.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} - 6 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 19

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Schritt 20

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

Schritt 22

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Schritt 23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Schritt 23.3

Vereine die Terme

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Schritt 23.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Schritt 23.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Schritt 23.4

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ um.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

Schritt 23.5

Faktorisiere $8 x \ln (3)$ aus $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ heraus.

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Schritt 23.5.1

Faktorisiere $8 x \ln (3)$ aus $8 x^{4} \ln (3)$ heraus.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

Schritt 23.5.2

Faktorisiere $8 x \ln (3)$ aus $- 24 x \ln (3)$ heraus.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

Schritt 23.5.3

Faktorisiere $8 x \ln (3)$ aus $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ heraus.

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Schritt 23.6

Mutltipliziere $8 x^{3} - 6$ mit $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ .

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Schritt 23.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x^{3} - 6$ und $8$ .

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Schritt 23.7.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Schritt 23.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Schritt 23.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Schritt 23.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Schritt 23.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Schritt 23.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$