Analysis Beispiele

$y = \log_{5} (\sqrt{7 x + 9})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x + 9}$ als ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 7 x + 9$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x + 9$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x + 9$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 10

Bringe ${(7 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 9])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(7 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 13.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 {(7 x + 9)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x + 9]$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 17

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 19

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 20

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} (7 + 0)$

Schritt 21

Kombiniere Brüche.

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Schritt 21.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)} \cdot 7$

Schritt 21.2

Kombiniere $\frac{1}{2 (7 x + 9) \ln (5)}$ und $7$ .

$\frac{7}{2 (7 x + 9) \ln (5)}$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7}{(2 (7 x) + 2 \cdot 9) \ln (5)}$

Schritt 22.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7}{2 (7 x) \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Schritt 22.3

Vereine die Terme

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Schritt 22.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{7}{14 x \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Schritt 22.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{7}{14 x \ln (5) + 18 \ln (5)}$