Analysis Beispiele

$y = \log_{5} (e^{2 x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{5} (x)$ und $g (x) = e^{2 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{5} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)}$ .

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 1$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{2}{\ln (5)}$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)}$