Analysis Beispiele

$y = e^{6 x \sin (2 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 6 x \sin (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x \sin (2 x)$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [6 x \sin (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$ .

$e^{6 x \sin (2 x)} (6 \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)])$

Schritt 2.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $e^{6 x \sin (2 x)}$ .

$6 \cdot e^{6 x \sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x \sin (2 x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1)$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 e^{6 x \sin (2 x)} (x (2 \cos (2 x))) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 e^{6 x \sin (2 x)} x \cos (2 x) + 6 e^{6 x \sin (2 x)} \sin (2 x)$