Analysis Beispiele

$y = e^{m x} \cos (n x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{m x}$ und $g (x) = \cos (n x)$ .

$e^{m x} \frac{d}{d x} [\cos (n x)] + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = n x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $n x$ .

$e^{m x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$e^{m x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $n x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $n$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $n x$ nach $x$ gleich $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) (n \cdot 1)) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) \frac{d}{d x} [e^{m x}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = m x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [m x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [m x])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $m x$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} \frac{d}{d x} [m x])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $m$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $m x$ nach $x$ gleich $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} (m \cdot 1))$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $m$ mit $1$ .

$e^{m x} (- \sin (n x) n) + \cos (n x) (e^{m x} m)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren in $- e^{m x} n \sin (n x) + e^{m x} m \cos (n x)$ um.

$- n e^{m x} \sin (n x) + m e^{m x} \cos (n x)$