Analysis Beispiele

$y = e^{5 x \sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x \sin (x)$ .

$e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [5 x \sin (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x \sin (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$e^{5 x \sin (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

Schritt 2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x \sin (x)}$ .

$5 \cdot e^{5 x \sin (x)} \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$5 e^{5 x \sin (x)} (x \cos (x) + \sin (x))$

Schritt 6

Wende das Distributivgesetz an.

$5 e^{5 x \sin (x)} x \cos (x) + 5 e^{5 x \sin (x)} \sin (x)$