Analysis Beispiele

$y = e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.1

Stelle $\sin (x)$ und $e^{x}$ um.

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 1 e^{x}$ als $- e^{x}$ um.

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 6.3.3

Addiere $- e^{x} \sin (x)$ und $e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

Schritt 6.3.4

Addiere $e^{x} \cos (x)$ und $0$ .

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

Schritt 6.3.5

Addiere $e^{x} \cos (x)$ und $\cos (x) e^{x}$ .

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Schritt 6.3.5.1

Stelle $\cos (x)$ und $e^{x}$ um.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Schritt 6.3.5.2

Addiere $e^{x} \cos (x)$ und $e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x)$