Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (x)}{x^{4}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{x^{4} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{4} \cos (x) - \sin (x) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{4} \cos (x) - 4 \sin (x) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} \cos (x) - 4 \sin (x) x^{3}$ heraus.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} \cos (x)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x \cos (x)) - 4 \sin (x) x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 4 \sin (x) x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} (x \cos (x)) + x^{3} (- 4 \sin (x))}{x^{8}}$

Schritt 4.2.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x \cos (x)) + x^{3} (- 4 \sin (x))$ heraus.

$\frac{x^{3} (x \cos (x) - 4 \sin (x))}{x^{8}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{3} (x \cos (x) - 4 \sin (x))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (x \cos (x) - 4 \sin (x))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cos (x) - 4 \sin (x)}{x^{5}}$