Analysis Beispiele

$y = \sin^{2} (π x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (π x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (π x)$ .

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $π x$ .

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $π x$ .

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π x$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (π x) \cos (π x) π$ um.

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

Schritt 4.2

Füge Klammern hinzu.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

Schritt 4.3

Stelle $2 π$ und $\cos (π x) \sin (π x)$ um.

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

Schritt 4.4

Füge Klammern hinzu.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

Schritt 4.5

Stelle $\cos (π x)$ und $\sin (π x) \cdot 2$ um.

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

Schritt 4.6

Stelle $\sin (π x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

Schritt 4.7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 (π x)) π$

Schritt 4.8

Stelle die Faktoren in $\sin (2 π x) π$ um.

$π \sin (2 π x)$