Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Schritt 3

Wandle von $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\sin (3 x) \cot (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (3 x)$ und $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Schritt 7.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Schritt 8.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (x)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Schritt 8.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Schritt 8.2.4

Kombiniere $\sin (3 x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Schritt 8.2.5

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.2.6

Multipliziere $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Schritt 8.2.6.1

Kombiniere $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ und $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Schritt 8.2.6.2

Kombiniere $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ und $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.3

Schreibe $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $\sin (3 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache.

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Schritt 8.3.5.1

Dividiere $\sin (3 x)$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.7

Multipliziere $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

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Schritt 8.3.7.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.7.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.8

Separiere Brüche.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Schritt 8.3.9

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Schritt 8.3.10

Dividiere $3 \cos (3 x)$ durch $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$