Analysis Beispiele

$y = \arcsin (\frac{3}{x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{3}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Schritt 2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}} x^{- 3}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$ und $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

Schritt 2.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - {(\frac{3}{x^{2}})}^{2}} x^{3}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x^{2}}$ an.

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{3^{2}}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{{(x^{2})}^{2}}} x^{3}}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{2 \cdot 2}}} x^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{6}{\sqrt{1 - \frac{9}{x^{4}}} x^{3}}$