Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$ als ${(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x^{6} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $x^{6} + 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{6} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + 0)}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.8.1

Addiere $6 x^{5}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5})}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Schritt 9.8.3

Mutltipliziere $\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.8.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{6} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 \cdot {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x^{6} + 2}{x - 3})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{6} + 2}{x - 3}$ an.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{6} + 2 + (- 6 x - 6 \cdot - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x \cdot x^{5} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5

Vereine die Terme

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Schritt 10.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.1.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.1.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $x$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x^{1}) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{5 + 1} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.1.3

Addiere $5$ und $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.3

Subtrahiere $6 x^{6}$ von $x^{6}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.4

Mutltipliziere $\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}}$ mit $\frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}) {(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.5

Bringe ${(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6

Multipliziere ${(x^{6} + 2)}^{2}$ mit ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.6.1

Bewege ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 ({(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{2}) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.6.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5.6.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 5 x^{6} + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{6}$ heraus.

$\frac{- (5 x^{6}) + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.8

Faktorisiere $- 1$ aus $18 x^{5}$ heraus.

$\frac{- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5})$ heraus.

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.10

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.12

Schreibe $- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ als $- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ um.

$\frac{- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x^{6} - 18 x^{5} - 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$