Analysis Beispiele

$y = \arctan (\ln (5 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \ln (5 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)} (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5 x}$ mit $\frac{1}{1 + \ln^{2} (5 x)}$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ .

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{5 x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x (1 + \ln^{2} (5 x))}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x \cdot 1 + x \ln^{2} (5 x)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x + x \ln^{2} (5 x)}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x \ln^{2} (5 x) + x}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x \ln^{2} (5 x) + x$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln^{2} (5 x)$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x}$

Schritt 4.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x^{1}}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1}$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln^{2} (5 x)) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln^{2} (5 x) + 1)}$