Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sqrt{5 x})$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [\arctan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $5^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Kombiniere $5^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 11.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende die Produktregel auf $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4

Vereine die Terme

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.5

Vereinfache.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.4.7

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.7.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 12.4.7.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 12.4.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Schritt 12.4.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 12.4.7.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 12.4.7.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.6.1

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 12.6.1.1

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $10 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.6.1.2

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Schritt 12.6.1.3

Faktorisiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ heraus.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Schritt 12.6.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{1} + 1)}$

Schritt 12.6.3

Vereinfache.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x + 1)}$