Analysis Beispiele

$y = \sqrt{e^{x} - 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e^{x} - 1}$ als ${(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = e^{x} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(e^{x} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2 {(e^{x} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$