Analysis Beispiele

$y = x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x^{4} e^{- 2 \ln (x)}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 2 \ln (x)}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 \ln (x)}] + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 \ln (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 x + x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 \ln (x)$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)])) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- 2 \frac{1}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} \frac{- 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x + x^{4} (e^{- 2 \ln (x)} (- \frac{2}{x})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.8

Kombiniere $e^{- 2 \ln (x)}$ und $\frac{2}{x}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{e^{- 2 \ln (x)} \cdot 2}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + x^{4} (- \frac{2 \cdot e^{- 2 \ln (x)}}{x}) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.10

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{2 e^{- 2 \ln (x)}}{x}$ .

$2 x - \frac{x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x$ .

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ heraus.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x^{1}} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x - \frac{x (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)}))}{x \cdot 1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 x - \frac{x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})}{1} + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.11.2.5

Dividiere $x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})$ durch $1$ .

$2 x - (x^{3} (2 e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x - 2 (x^{3} (e^{- 2 \ln (x)})) + e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$

Schritt 2.13

Addiere $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ und $e^{- 2 \ln (x)} (4 x^{3})$ .

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Schritt 2.13.1

Bewege $e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x - 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.13.2

Addiere $- 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ und $4 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$ .

$2 x + 2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Terme um.

$2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{- 2 \ln (x)} x^{3} + 2 x$ um.

$2 x^{3} e^{- 2 \ln (x)} + 2 x$