Analysis Beispiele

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ und

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

f (x) = x

$f (x) = x$ und

g (x) = sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x \frac{d}{d x} [sin (x)] + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von

sin (x)

$\sin (x)$ nach

x

$x$ ist

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ist mit

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \cdot 1) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere

sin (x)

$\sin (x)$ mit

1

$1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$ nach

x

$x$

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

1

$1$ konstant bezüglich

x

$x$ ist, ist die Ableitung von

1

$1$ bezüglich

x

$x$ gleich

0

$0$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Addiere

0

$0$ und

\frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von

$\cos (x)$ nach

$x$ ist

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6

Multipliziere.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 7

Potenziere

$\sin (x)$ mit

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 8

Potenziere

$\sin (x)$ mit

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 10

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1.1

Multipliziere

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1.2.1

Mutltipliziere

$x \cos (x)$ mit

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2.2

Mutltipliziere

$\sin (x)$ mit

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2.3

Multipliziere

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Schritt 11.1.1.2.3.1

Potenziere

$\cos (x)$ mit

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2.3.2

Potenziere

$\cos (x)$ mit

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2.3.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.1.2.3.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.2

Bewege

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.3

Faktorisiere

$x$ aus

$x \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.4

Faktorisiere

$x$ aus

$x \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.5

Faktorisiere

$x$ aus

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.6

Ordne Terme um.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere

$x$ mit

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.2

Stelle die Terme um.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.3.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.3.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$\cos (x) + 1$ und

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Schritt 11.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.4.2

Faktorisiere

$1 + \cos (x)$ aus

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ heraus.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 11.4.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.3.1

Faktorisiere

$1 + \cos (x)$ aus

${(1 + \cos (x))}^{2}$ heraus.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 11.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Schritt 11.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$