Analysis Beispiele

$y = x e^{5 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{5 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 x}$ .

$x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $e^{5 x}$ mit $1$ .

$x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$5 e^{5 x} x + e^{5 x}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $5 e^{5 x} x + e^{5 x}$ um.

$5 x e^{5 x} + e^{5 x}$