Analysis Beispiele

$y = 1 - e^{2 x}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$0 - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 - (e^{2 x} \cdot 2)$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 x}$ .

$0 - (2 \cdot e^{2 x})$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 e^{2 x}$

Schritt 3

Subtrahiere $2 e^{2 x}$ von $0$ .

$- 2 e^{2 x}$