Analysis Beispiele

$y = x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 2$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} + 5 x^{2} - 6 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 x^{3} - 3 (\frac{3}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3}{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$4 x^{3} + \frac{- 9}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.6

Kombiniere $\frac{- 9}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6 + 0$

Schritt 5.2

Addiere $4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6$ und $0$ .

$4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 10 x - 6$