Analysis Beispiele

$y = x^{4} \ln (x - \frac{1}{2} x^{2})$

Schritt 1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{2}}{2})] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{4} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - \frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{4} (\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{x - \frac{x^{2}}{2}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{2}}{2}] + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.4

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - \frac{1}{2} (2 x)) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - 2 (\frac{1}{2}) x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2}{2} x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- 2 x}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 + \frac{- x}{1}) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.6.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} (1 - x) + \ln (x - \frac{x^{2}}{2}) (4 x^{3})$

Schritt 4.8

Stelle die Terme um.

$(1 - x) \frac{x^{4}}{x - \frac{x^{2}}{2}} + 4 x^{3} \ln (x - \frac{x^{2}}{2})$