Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{5}{2}} + 2 \ln (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{5}{2}} + 2 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{1}{x}$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2}{x}$