Analysis Beispiele

$y = \sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x} + \frac{4}{x} + \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 x^{- 2} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4

Vereine die Terme

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.5

Stelle die Terme um.

$- \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$