Analysis Beispiele

$y = \sqrt[4]{5 x}$

Schritt 1

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{5 x}$ als ${(5 x)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $5 (x)$ an.

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2

Da $5^{\frac{1}{4}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5^{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$5^{\frac{1}{4}} \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 10

Kombiniere $5^{\frac{1}{4}}$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}} x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 11

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{4}}}{4 x^{\frac{3}{4}}}$