Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} - \arcsin (\frac{x}{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}])}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.13.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.15

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.16

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.18

Kombiniere $- 2$ und $\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.19

Kombiniere $\frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.20

Bringe ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.21

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.22

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.22.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.22.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.22.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.24

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.25

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.26

Kombiniere $x$ und $\frac{x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.27

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.28

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.29

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.30

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.31

Um ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.33

Multipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.33.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.33.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.33.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.33.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{{(4 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.34

Vereinfache ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{\frac{4 - x^{2} + x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.35

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 + 0}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.36

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.37

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.37.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.37.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.37.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.37.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(4 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.38

Vereinfache.

$\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.39

Schreibe $\frac{\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.40

Mutltipliziere $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{4 - x^{2}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.41

Multipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $4 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.41.1

Mutltipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $4 - x^{2}$ .

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Schritt 2.41.1.1

Potenziere $4 - x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.41.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.41.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.41.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 2.41.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \arcsin (\frac{x}{2})]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \arcsin (\frac{x}{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x}{2})]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Schritt 4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4 - x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.3.1.3

Schreibe $\frac{4 - x^{2}}{4}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{2^{2} - x^{2}}{4}}}$

Schritt 4.3.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(2 + x) (2 - x)$ heraus.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}}$

Schritt 4.3.1.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}}$

Schritt 4.3.1.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 (\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)})}$

Schritt 4.3.1.6

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2}}$

Schritt 4.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{1}}$

Schritt 4.3.3.2

Dividiere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ durch $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - (\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}})$

Schritt 4.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ mit $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 4.3.5.2

Potenziere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

Schritt 4.3.5.3

Potenziere $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ mit $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

Schritt 4.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

Schritt 4.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ als $(2 + x) (2 - x)$ um.

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Schritt 4.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ als ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

Schritt 4.3.5.6.5

Vereinfache.

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.4

Um $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.5

Um $- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ .

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ mit $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.6.3

Stelle die Faktoren von ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((2 + x) (2 - x))$ um.

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4.6.4

Stelle die Faktoren von $(2 + x) (2 - x) {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ um.

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)} - \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 ((2 + x) (2 - x)) - \sqrt{(2 + x) (2 - x)} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ als ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 (2 + x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 \cdot 2 + 4 x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(8 + 4 x) (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.4

Multipliziere $(8 + 4 x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.8.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (2 - x) + 4 x (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \cdot 2 + 8 (- x) + 4 x (2 - x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 \cdot 2 + 8 (- x) + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.5.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 + 8 (- x) + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{16 - 8 x + 4 x \cdot 2 + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 x (- x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 x \cdot x - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.5.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 - 8 x + 8 x + 4 \cdot - 1 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{16 - 8 x + 8 x - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.2

Addiere $- 8 x$ und $8 x$ .

$\frac{16 + 0 - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.5.3

Addiere $16$ und $0$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.6

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 (2 - x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.7.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - 2 x + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.7.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.8

Multipliziere ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.8.1

Bewege ${(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - ({(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{3 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.8.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{\frac{4}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.8.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - {(4 - x^{2})}^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.9

Schreibe ${(4 - x^{2})}^{2}$ als $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ um.

$\frac{16 - 4 x^{2} - ((4 - x^{2}) (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.10

Multipliziere $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.8.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.11.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.11.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.1.7

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.11.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - (16 - 8 x^{2} + x^{4})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 - 4 x^{2} - 1 \cdot 16 - (- 8 x^{2}) - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.13

Vereinfache.

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Schritt 4.8.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - 16 - (- 8 x^{2}) - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.13.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$\frac{16 - 4 x^{2} - 16 + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.14

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.15

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 8 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.16

Addiere $- 4 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.17

Schreibe $4 x^{2} - x^{4}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.8.17.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2} - x^{4}$ heraus.

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Schritt 4.8.17.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x^{4}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.17.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.17.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (- x^{2})$ heraus.

$\frac{x^{2} (4 - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.17.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (2^{2} - x^{2})}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.8.17.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{x^{2} (2 + x) (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (2 + x) (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 + x) (2 - x)}$

Schritt 4.10

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 - x)}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (2 - x)}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 - x)}$

Schritt 4.12

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$