Analysis Beispiele

$y = - \sqrt{x + 2} - 4$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \sqrt{x + 2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 2}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$- (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.15

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Schritt 3.2

Addiere $- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$