Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\sec (x)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sec (x)}$ als ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{\sec (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sec (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 7.3

Bringe ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 8

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\sec (x)$ und $\frac{1}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}} \tan (x)$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{\sec (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 9.3

Bringe ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) {\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 10

Multipliziere $\sec (x)$ mit ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.1

Bewege ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (x) \tan (x)}{2}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere ${\sec (x)}^{- \frac{1}{2}}$ mit $\sec (x)$ .

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Schritt 10.2.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (x) \tan (x)}{2}$

Schritt 10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + 1} \tan (x)}{2}$

Schritt 10.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sec (x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \tan (x)}{2}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}} \tan (x)}{2}$

Schritt 10.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{{\sec (x)}^{\frac{1}{2}} \tan (x)}{2}$