Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ und $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 5) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x - 2) + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 2 x^{2} + 10 x - 10$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $2 x$ von $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 8 x - 10$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (4 x)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} + 4 x - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 3.4.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 1) (x + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$