Analysis Beispiele

$y = \frac{- x^{2} - 4 x - 7}{x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - x^{2} - 4 x - 7$ und $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [- x^{2} - 4 x - 7] - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 4 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 3) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 3) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4 + 0) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $- 2 x - 4$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - (- x^{2} - 4 x - 7)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x + 3) (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(x + 3) (- 2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 2 x - 4) + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x - 4) - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x \cdot - 4 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 \cdot x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 3 \cdot - 4 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x - 6 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 - - x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + 1 x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} - (- 4 x) - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x - - 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 10 x - 12 + x^{2} + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 10 x - 12 + 4 x + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 10 x$ und $4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 12 + 7}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Addiere $- 12$ und $7$ .

$\frac{- x^{2} - 6 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 5 = 5$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 6 (x) - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 6$ um als $- 1$ plus $- 5$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 5) x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 5 x - 5}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x - 1) + 5 (- x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) - 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $- (x + 1)$ als $- 1 (x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x + 1) (x + 5)}{{(x + 3)}^{2}}$