Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 4$ und $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x)) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x - (x^{2} - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x) x + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 (x \cdot x)) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 (- 2 x^{2}) + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} - - 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + (- x^{2} + 4) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $(- x^{2} + 4) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x - 2) + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 4 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 8 x - 8$ .

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 0 + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 8 x - 8$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) - 8}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (- 4)$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 3.5.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.1.2

Schreibe $4$ um als $2$ plus $2$

$\frac{2 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$\frac{2 ((- x + 2) (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{2 (- (x) + 2) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{2 (- (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.4

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{2 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.5

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.6

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.5.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x - 2 x)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{{(x (x - 2))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 2)$ an.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(x - 2)}^{2}}{x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}}$