Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{5}}{4 - x^{4}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = 4 - x^{4}$ .

$\frac{(4 - x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{(4 - x^{4}) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 - x^{4}$ .

$\frac{5 \cdot (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [- x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 1 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} (4 x^{3})}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3} x^{5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3 + 5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.3

Addiere $3$ und $5$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{8} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{8}$ .

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 4 \cdot x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(5 \cdot 4 + 5 (- x^{4})) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 4 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- (x^{4} x^{4})) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4 + 4}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{8}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{20 x^{4} - 5 x^{8} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 5 x^{8}$ und $4 x^{8}$ .

$\frac{20 x^{4} - x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{8} + 20 x^{4}}{{(- x^{4} + 4)}^{2}}$