Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{6}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = {(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 6)}^{6})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{6 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{6} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 6)}^{6}$ .

$\frac{5 \cdot {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 6)}^{6}]}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{2} - 6$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - x^{5} (6 {(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 6])}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.4

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x + 0))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} (2 x))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 6)}^{5}$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 6 x^{5} (2 \cdot {(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{5} ({(x^{2} - 6)}^{5} x)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 (x^{1} x^{5}) {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{1 + 5} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 7

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ aus $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4} - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ heraus.

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Schritt 8.1.1.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ aus $5 {(x^{2} - 6)}^{6} x^{4}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) - 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.1.1.2

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ aus $- 12 x^{6} {(x^{2} - 6)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.1.1.3

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4}$ aus ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6)) + {(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 12 x^{2})$ heraus.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 (x^{2} - 6) - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} + 5 \cdot - 6 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (5 x^{2} - 30 - 12 x^{2})}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.1.4

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} - 6)}^{5}$ und ${(x^{2} - 6)}^{12}$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5}$ aus ${(x^{2} - 6)}^{5} x^{4} (- 7 x^{2} - 30)$ heraus.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{12}}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} - 6)}^{5}$ aus ${(x^{2} - 6)}^{12}$ heraus.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} - 6)}^{5} (x^{4} (- 7 x^{2} - 30))}{{(x^{2} - 6)}^{5} {(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4} (- 7 x^{2} - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 30$ als $- 1 (30)$ um.

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2}) - 1 (30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x^{2}) - 1 (30)$ heraus.

$\frac{x^{4} (- (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.6

Schreibe $- (7 x^{2} + 30)$ als $- 1 (7 x^{2} + 30)$ um.

$\frac{x^{4} (- 1 (7 x^{2} + 30))}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{4} (7 x^{2} + 30)}{{(x^{2} - 6)}^{7}}$