Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{x^{3}}{3}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.6

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 2.7.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{3}}{9}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{9}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

Schritt 3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

Schritt 3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\ln (x)}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{3 \ln (x)}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $\ln (x) x^{2}$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.5

Um $\frac{1}{3} x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.6

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.9

Kombiniere $\frac{x^{2}}{3}$ und $3$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.11.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

Schritt 4.2.12

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

Schritt 4.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

Schritt 4.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

Schritt 4.2.13.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\ln (x) x^{2} + 0$

Schritt 4.2.14

Addiere $\ln (x) x^{2}$ und $0$ .

$\ln (x) x^{2}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $\ln (x) x^{2}$ um.

$x^{2} \ln (x)$