Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $196 x^{8}$ als ${(14 x^{4})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\frac{15^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{15}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

Schritt 1.1.4

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

Schritt 1.1.5

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

Schritt 1.1.6

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 14 x^{4}$ und $b = \frac{15}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ und $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.2

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{4}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $14$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.5

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{15}{x}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 3.8.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 3.8.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 3.8.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Kombiniere $56$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $\frac{56}{x^{4}}$ und $x^{3}$ .

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $56 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.4

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{4}}$ mit $\frac{15}{x^{2}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.7

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.7.2

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.11

Kombiniere $- 14$ und $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.12

Mutltipliziere $- 14$ mit $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.13

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{- 56}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.14

Bringe $- 56$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.15.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 56 x^{4}$ heraus.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.15.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

Schritt 4.5.17

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

Schritt 4.5.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

Schritt 4.5.19

Mutltipliziere $\frac{15}{x}$ mit $\frac{4}{x^{5}}$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

Schritt 4.5.20

Mutltipliziere $15$ mit $4$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

Schritt 4.5.21

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.21.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.21.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

Schritt 4.5.21.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

Schritt 4.5.21.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

Schritt 4.5.22

Subtrahiere $\frac{56}{x}$ von $\frac{56}{x}$ .

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

Schritt 4.5.23

Addiere $- \frac{15}{x^{6}}$ und $0$ .

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

Schritt 4.5.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

Schritt 4.5.25

Subtrahiere $60$ von $- 15$ .

$\frac{- 75}{x^{6}}$

Schritt 4.5.26

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{75}{x^{6}}$