Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Schritt 1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 8.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$