Analysis Beispiele

Ermittle die Wendepunkte y=3x^5-5x^3+1
Schritt 1
Schreibe als Funktion.
Schritt 2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Bestimme die erste Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.1.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.1.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.1.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.4
Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 2.1.4.2
Addiere und .
Schritt 2.2
Bestimme die zweite Ableitung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.1
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.2.2
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.2.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.2.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.2.3
Berechne .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.2.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.2.3.2
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.2.3.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3
Die zweite Ableitung von nach ist .
Schritt 3
Setze die zweite Ableitung gleich , dann löse die Gleichung .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Setze die zweite Ableitung gleich .
Schritt 3.2
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.2.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.3
Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich .
Schritt 3.4
Setze gleich .
Schritt 3.5
Setze gleich und löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.1
Setze gleich .
Schritt 3.5.2
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.1
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.5.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.5.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.5.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Schritt 3.5.2.4
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.4.1
Schreibe als um.
Schritt 3.5.2.4.2
Jede Wurzel von ist .
Schritt 3.5.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.4.4
Vereinige und vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.4.4.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.5.2.4.4.2
Potenziere mit .
Schritt 3.5.2.4.4.3
Potenziere mit .
Schritt 3.5.2.4.4.4
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 3.5.2.4.4.5
Addiere und .
Schritt 3.5.2.4.4.6
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.4.4.6.1
Benutze , um als neu zu schreiben.
Schritt 3.5.2.4.4.6.2
Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, .
Schritt 3.5.2.4.4.6.3
Kombiniere und .
Schritt 3.5.2.4.4.6.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.4.4.6.4.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.5.2.4.4.6.4.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 3.5.2.4.4.6.5
Berechne den Exponenten.
Schritt 3.5.2.5
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.5.2.5.1
Verwende zunächst den positiven Wert des , um die erste Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2.5.2
Als Nächstes verwende den negativen Wert von , um die zweite Lösung zu finden.
Schritt 3.5.2.5.3
Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.
Schritt 3.6
Die endgültige Lösung sind alle Werte, die wahr machen.
Schritt 4
Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.1.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.1.1
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.1.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 4.1.2.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.2
Vereinfache durch Addieren von Zahlen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.1.2.2.1
Addiere und .
Schritt 4.1.2.2.2
Addiere und .
Schritt 4.1.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.2
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.3
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.3.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.2
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.2.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.2.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.2.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.2.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.2.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.2.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.2.1.3
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.4
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.4.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.4.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.4.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.4.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.5
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.6
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.3.2.1.7
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.7.1
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.7.2
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.7.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.7.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.7.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.3.2.1.7.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.3.2.1.8
Potenziere mit .
Schritt 4.3.2.1.9
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.9.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.9.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.1.9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.3.2.1.9.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.3.2.1.9.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.3.2.1.10
Kombiniere und .
Schritt 4.3.2.1.11
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.3.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.3.2.5
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.5.1
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.3.2.5.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.2.5.1.2
Subtrahiere von .
Schritt 4.3.2.5.2
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.3.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.4
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.5
Ersetze in , um den Wert von zu ermitteln.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 4.5.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.1
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.1.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.5.2.1.1.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.5.2.1.2
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.3.1
Schreibe als um.
Schritt 4.5.2.1.3.2
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.3.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.3.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.3.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.5.2.1.3.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.5.2.1.4
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.5
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.5.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.5.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.5.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.5.2.1.5.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.5.2.1.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.1.6.2
Kombiniere und .
Schritt 4.5.2.1.7
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 4.5.2.1.8
Wende die Exponentenregel an, um den Exponenten zu verteilen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.8.1
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.5.2.1.8.2
Wende die Produktregel auf an.
Schritt 4.5.2.1.9
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.10
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.10.1
Schreibe als um.
Schritt 4.5.2.1.10.2
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.10.3
Schreibe als um.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.10.3.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.10.3.2
Schreibe als um.
Schritt 4.5.2.1.10.4
Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.
Schritt 4.5.2.1.11
Potenziere mit .
Schritt 4.5.2.1.12
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.12.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.12.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.12.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 4.5.2.1.12.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 4.5.2.1.12.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 4.5.2.1.13
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.1.13.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.1.13.2
Kombiniere und .
Schritt 4.5.2.2
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 4.5.2.3
Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von multiplizierst.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.3.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.4
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 4.5.2.5
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 4.5.2.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.5.2.5.2
Addiere und .
Schritt 4.5.2.6
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 4.6
Der Punkt, der durch Einsetzen von in ermittelt werden kann, ist . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.
Schritt 4.7
Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.
Schritt 5
Teile in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.
Schritt 6
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 6.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 6.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 6.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.2.2
Addiere und .
Schritt 6.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 6.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 7
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 7.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 7.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Addiere und .
Schritt 7.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 7.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 8
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 8.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 8.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 8.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 8.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 8.3
Bei , die zweite Ableitung ist . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall
Abfallend im Intervall da
Abfallend im Intervall da
Schritt 9
Setze einen Wert aus dem Intervall in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Ersetze in dem Ausdruck die Variable durch .
Schritt 9.2
Vereinfache das Ergebnis.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.2.1.1
Potenziere mit .
Schritt 9.2.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 9.2.2
Subtrahiere von .
Schritt 9.2.3
Die endgültige Lösung ist .
Schritt 9.3
Bei ist die zweite Ableitung . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall .
Ansteigend im Intervall , da
Ansteigend im Intervall , da
Schritt 10
An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are .
Schritt 11