Analysis Beispiele

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $15 x^{4} - 15 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{4} - 15 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 15 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $60 x^{3} - 30 x$ .

$60 x^{3} - 30 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $60 x^{3} - 30 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$60 x^{3} - 30 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $30 x$ aus $60 x^{3} - 30 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $30 x$ aus $60 x^{3}$ heraus.

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $30 x$ aus $- 30 x$ heraus.

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $30 x$ aus $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ heraus.

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $2 x^{2} - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $2 x^{2} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 1$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0 + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(0, 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 1)$

Schritt 4.3

Ersetze $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2.3

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.3.2.1.2.3.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $32$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (\frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.7.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.3.2.1.7.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.3.2.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 (\sqrt{2})}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Schritt 4.3.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + 1$

Schritt 4.3.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 \frac{\sqrt{2}}{4} + 1$

Schritt 4.3.2.1.10

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Schritt 4.3.2.2

Um $- \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 4.3.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.3.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{8} - \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2} - 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.5.1.2

Subtrahiere $10 \sqrt{2}$ von $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$- \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Schritt 4.5

Ersetze $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{5} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{5}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}})) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{{\sqrt{2}}^{5}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{5}$ als $\sqrt{2^{5}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2^{5}}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{32}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.3.3

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.3.3.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{16 (2)}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.3.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{5}}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $32$ .

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Schritt 4.5.2.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 (\sqrt{2})}{32}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $32$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 (- \frac{\sqrt{2}}{8}) - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.6

Multipliziere $3 (- \frac{\sqrt{2}}{8})$ .

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Schritt 4.5.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 3 \frac{\sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.6.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{\sqrt{2}}{8}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{(3) \sqrt{2}}{8} - 5 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 1$

Schritt 4.5.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.5.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}})) + 1$

Schritt 4.5.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.1.10.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.10.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.10.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.5.2.1.10.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.10.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.10.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

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Schritt 4.5.2.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 (\sqrt{2})}{8}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.13

Multipliziere $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{4})$ .

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Schritt 4.5.2.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + 5 (\frac{\sqrt{2}}{4}) + 1$

Schritt 4.5.2.1.13.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} + 1$

Schritt 4.5.2.2

Um $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 4.5.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Schritt 4.5.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{2}}{8} + \frac{5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Schritt 4.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \cdot 2}{8} + 1$

Schritt 4.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt{2} + 10 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.5.2.5.2

Addiere $- 3 \sqrt{2}$ und $10 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$ .

$\frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ in $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 {(- 0.80710678)}^{3} - 30 \cdot - 0.80710678$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.80710678$ mit $3$ .

$f'' (- 0.80710678) = 60 \cdot - 0.52576659 - 30 \cdot - 0.80710678$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.52576659$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 - 30 \cdot - 0.80710678$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 0.80710678$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 31.54599564 + 24.21320343$

Schritt 6.2.2

Addiere $- 31.54599564$ und $24.21320343$ .

$f'' (- 0.80710678) = - 7.3327922$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.3327922$ .

$- 7.3327922$

Schritt 6.3

Bei $- 0.80710678$ , die zweite Ableitung ist $- 7.3327922$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 {(- 0.35355339)}^{3} - 30 \cdot - 0.35355339$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 0.35355339$ mit $3$ .

$f'' (- 0.35355339) = 60 \cdot - 0.04419417 - 30 \cdot - 0.35355339$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $- 0.04419417$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 - 30 \cdot - 0.35355339$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $- 0.35355339$ .

$f'' (- 0.35355339) = - 2.65165042 + 10.60660171$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 2.65165042$ und $10.60660171$ .

$f'' (- 0.35355339) = 7.95495128$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.95495128$ .

$7.95495128$

Schritt 7.3

Bei $- 0.35355339$ ist die zweite Ableitung $7.95495128$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 60 {(0.35355339)}^{3} - 30 \cdot 0.35355339$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $0.35355339$ mit $3$ .

$f'' (0.35355339) = 60 \cdot 0.04419417 - 30 \cdot 0.35355339$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.04419417$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 30 \cdot 0.35355339$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $0.35355339$ .

$f'' (0.35355339) = 2.65165042 - 10.60660171$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $10.60660171$ von $2.65165042$ .

$f'' (0.35355339) = - 7.95495128$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.95495128$ .

$- 7.95495128$

Schritt 8.3

Bei $0.35355339$ , die zweite Ableitung ist $- 7.95495128$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Abfallend im Intervall $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 60 {(0.80710678)}^{3} - 30 \cdot 0.80710678$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $0.80710678$ mit $3$ .

$f'' (0.80710678) = 60 \cdot 0.52576659 - 30 \cdot 0.80710678$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $60$ mit $0.52576659$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 30 \cdot 0.80710678$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $- 30$ mit $0.80710678$ .

$f'' (0.80710678) = 31.54599564 - 24.21320343$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $24.21320343$ von $31.54599564$ .

$f'' (0.80710678) = 7.3327922$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $7.3327922$ .

$7.3327922$

Schritt 9.3

Bei $0.80710678$ ist die zweite Ableitung $7.3327922$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1), (0, 1), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{7 \sqrt{2}}{8} + 1)$

Schritt 11