Analysis Beispiele

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Stelle die Faktoren in $2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ um.

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $- 4 e^{x} x$ heraus.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.1.4

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ heraus.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.1.5

Faktorisiere $2 e^{x}$ aus $2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ heraus.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.5.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.5.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$