Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{4} - 3 x}{4 x - 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{4} - 3 x$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3 x] - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3 \cdot 1) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - (2 x^{4} - 3 x) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2.13.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4} - 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 1) (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $(4 x - 1) (8 x^{3} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (8 x^{3} - 3) - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3} - 3) - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x (8 x^{3}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 8 x \cdot x^{3} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 (x^{3} x^{1}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot 8 x^{3 + 1} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot 8 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{32 x^{4} + 4 x \cdot - 3 - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 1 (8 x^{3}) - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} - 1 \cdot - 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 4 (2 x^{4}) - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} - 4 (- 3 x)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$\frac{32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $32 x^{4} - 12 x - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 12 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $- 12 x$ und $12 x$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4} + 0}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}$ und $0$ .

$\frac{32 x^{4} - 8 x^{3} + 3 - 8 x^{4}}{{(4 x - 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $8 x^{4}$ von $32 x^{4}$ .

$\frac{24 x^{4} - 8 x^{3} + 3}{{(4 x - 1)}^{2}}$