Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \sqrt{25 - x^{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - x^{2}}]$

Schritt 1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $\sqrt{25 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}{2}]$

Schritt 1.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - x^{2}}$ als ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.3

Bringe ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 10

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 17

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 18

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Schritt 22

Stelle um.

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Schritt 22.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 22.2

Bewege ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 23

Um $2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25

Multipliziere ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 25.1

Bewege ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 25.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 26

Vereinfache $2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 27

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 28.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 28.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 28.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.1.4

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3} + 50 x$ heraus.

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Schritt 28.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.3.2

Faktorisiere $x$ aus $50 x$ heraus.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ heraus.

$\frac{x (- 3 x^{2} + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.5

Schreibe $50$ als $- 1 (- 50)$ um.

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ heraus.

$\frac{x (- (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 50)$ als $- 1 (3 x^{2} - 50)$ um.

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 28.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (3 x^{2} - 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$