Analysis Beispiele

$y = \frac{1 + \ln (x)}{1 - \ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 + \ln (x)$ und $g (x) = 1 - \ln (x)$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.5

Multipliziere.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + 1 (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $1 + \ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Addiere $- \ln (x) \frac{1}{x}$ und $\ln (x) \frac{1}{x}$ .

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + 0}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Addiere $1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}$ und $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{1 + 1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Schreibe $\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ als ein Produkt um.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ .

$\frac{2}{x {(1 - \ln (x))}^{2}}$