Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{4 - 5 x - x^{2}}$ als ${(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(4 - 5 x - x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 4 - 5 x - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - 5 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - 5 x - x^{2}$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 - 5 x - x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 5 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - (2 x))$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- {(4 - 5 x - x^{2})}^{- 2} (- 5 - 2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}} (- 5 - 2 x)$ um.

$- (- 5 - 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- - 5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$(5 - (- 2 x)) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$(5 + 2 x) \frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $5 + 2 x$ mit $\frac{1}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 + 2 x}{{(4 - 5 x - x^{2})}^{2}}$