Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sinh (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sinh (u)$ nach $u$ ist $\cosh (u)$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cosh (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $\frac{2}{4}$ und $\cosh (2 x)$ .

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cosh (2 x)$ heraus.

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 2.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$