Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 3.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Schritt 3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Schritt 3.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 6

Vereine die Terme

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Schritt 6.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$