Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - 5 x + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 x - 4$ und $g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x^{2} - 5 x + 7$ .

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 5 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.14

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + 0)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 2.15

Addiere $4 x - 5$ und $0$ .

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x + 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $(- 3 x + 4) (4 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x - 5) + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.6.2

Addiere $15 x$ und $16 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $6 x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2} - 15 x + 21 + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $- 15 x$ und $31 x$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 21 - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $20$ von $21$ .

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (6 x^{2}) + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x$ heraus.

$\frac{- (6 x^{2}) - (- 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 x^{2}) - (- 16 x)$ heraus.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.9

Schreibe $- (6 x^{2} - 16 x - 1)$ als $- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 x^{2} - 16 x - 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$