Analysis Beispiele

$y = 3 x^{2} \sin (2 x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$3 (x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (2 \cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (x^{2} (\cos (2 x))) + 3 (\sin (2 x) (2 x))$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 \sin (2 x) x$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$6 x^{2} \cos (2 x) + 6 x \sin (2 x)$