Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x}{\log_{4} (x)}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{\log_{4} (x)}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\log_{4} (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \log_{4} (x)$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\log_{4} (x)$ mit $1$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\log_{4} (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (4)}$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - x \frac{1}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (4)}$ und $x$ .

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{x}{x \ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $4$ und $\frac{\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$ .

$\frac{4 (\log_{4} (x) - \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 \log_{4} (x) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache $4 \log_{4} (x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + 4 (- \frac{1}{\ln (4)})}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2

Multipliziere $4 (- \frac{1}{\ln (4)})$ .

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - 4 \frac{1}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (4)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{\ln (2^{2})}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.4

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 4}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 6.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \ln (2)$ heraus.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (\ln (2))}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) + \frac{- 2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\log_{4} (x^{4}) - \frac{2}{\ln (2)}}{{\log_{4}}^{2} (x)}$