Analysis Beispiele

$y = 5^{x^{3} + \cos (2 x)}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 5^{x}$ und $g (x) = x^{3} + \cos (2 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $5$ .

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{3} + \cos (2 x)$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$

Schritt 4.4.2

Stelle die Faktoren von $5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$ um.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} (3 x^{2} - 2 \sin (2 x)) \ln (5)$