Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x - 5}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 4 x - 5$ und $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{4 \cdot (x + 2) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 (x + 2) - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x - 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x + 4 \cdot 2 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 x + 8 - (4 x) - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 x - - 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{4 x + 8 - 4 x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x + 8 - 4 x + 5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{0 + 8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $0$ und $8$ .

$\frac{8 + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Addiere $8$ und $5$ .

$\frac{13}{{(x + 2)}^{2}}$