Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.14.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.14.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.15

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{2}{3 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.17

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.18

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.19.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Schritt 3.12

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Schritt 3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2 x^{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$